Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-alnx（a∈R）
（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值；
（2）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,根的存在性及根的个数判断,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出导函数，利用f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，列出方程组求解a，b．
（2）通过a=0，a＜0，判断方程的解．a＞0，求出函数的导数判断函数的单调性，求出极小值，分析出当a∈[0，e）时，方程无解；当a＜0或a=e时，方程有惟一解；当a＞e时方程有两解．

解答： 解：（1）因为：f′(x)=x-

a

x

（x＞0），又f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b
所以  

2-aln2=2+b 2- a 2 =1

解得：a=2，b=-2ln2…（4分）
（2）当a=0时，f（x）在定义域（0，+∞）上恒大于0，此时方程无解；…（5分）
当a＜0时，f′(x)=x-

a

x

＞0在（0，+∞）上恒成立，
所以f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数．∵f(1)=

1

2

＞0，f(e

1

2

)=

1

2

e

2

a

-1＜0，所以方程有惟一解．…（6分）
当a＞0时，f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

=

(x+ a )(x- a)

x

因为当x∈(0，

a

)时，f'（x）＞0，f（x）在(0，

a

)内为减函数；
当x∈(

a

，+∞)时，f（x）在(

a

，+∞)内为增函数．
所以当x=

a

时，有极小值即为最小值f(

a

)=

1

2

a-aln

a

=

1

2

a(1-lna)…（7分）
当a∈（0，e）时，f(

a

)=

1

2

a(1-lna)＞0，此方程无解；
当a=e时，f(

a

)=

1

2

a(1-lna)=0．此方程有惟一解x=

a

．
当a∈（e，+∞）时，f(

a

)=

1

2

a(1-lna)＜0，
因为f(

1

2

)=

1

2

＞0且1＜

a

，所以方程f（x）=0在区间(0，

a

)上有惟一解，
因为当x＞1时，（x-lnx）'＞0，所以x-lnx＞1，
所以，x＞lnx，f(x)=

1

2

x2-alnx＞

1

2

x2-ax，
因为  2a＞

a

＞1，所以 f(x)＞

1

2

(2a)2-2a2=0，
所以  方程f（x）=0在区间(

a

，+∞)上有惟一解．
所以方程f（x）=0在区间（e，+∞）上有惟两解． …（11分）
综上所述：当a∈[0，e）时，方程无解；
当a＜0或a=e时，方程有惟一解；
当a＞e时方程有两解． …（12分）

点评：本题考查函数的导数的最值的应用，函数的切线方程，考查分析问题解决问题的能力．