Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，cos∠A₁DD₁=

DD1

DA1

=

3 10

10

，DBB₁，∠A₁DD₁是AB₁的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角DO的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明线面平行常用以下两种方法：一是用线面平行的判定定理，二是用面面平行的性质．本题用这两种方法都行；
（Ⅱ）首先应考虑作出平面DBB₁截三棱柱所得的截面．作出该截面便很容易得到二面角的平面角即为∠A₁DD₁．本题也可用向量解决．

解答： 解：（Ⅰ）法一：连结AB₁，交A₁B于O，连结DO，则B₁C∥DO，从而 B₁C∥平面A₁BD．


法二：取A₁C₁的中点D₁，连结CD₁，易得平面CB₁D₁∥DBA₁，从而 B₁C∥平面A₁BD．
（Ⅱ）A₁C₁的中点D₁，连结DD₁、D₁B₁，易得平面DBB₁D₁就是平面DBB₁，
又BD⊥平面ACC₁A₁，所以BD⊥A₁D，BD⊥DD₁，
所以∠A₁DD₁就是该二面角的平面角.cos∠A1DD1=

DD1

DA1

=

3 10

10

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力．