题目内容

某牛奶厂2008年初有资金1000万元，由于引进了先进设备，资金年平均增长率可达到50%．每年年底扣除下一年的消费基金x万元后，剩余资金投入再生产．
（1）分别写出这家牛奶厂2009年初和2010年初投入再生产的剩余资金的表达式．
（2）预计2012年底，这家牛奶厂将转向经营，需资金2000万元（该年底不再扣除下年的消费基金），当消费基金x不超过多少万元时，才能实现转向经营的目标（精确到万元）？
考点：函数模型的选择与应用
专题：应用题,等差数列与等比数列
分析：（1）由于引进了先进设备，资金年平均增长率可达到50%．每年年底扣除下一年的消费基金x万元后，剩余资金投入再生产，可得2009年初和2010年初投入再生产的剩余资金的表达式．
（2）设从2008年底这家牛奶厂的资金组成数列为{an}，则这个数列满足a1=1 000•
3
2
-x，an+1=
3
2
an-x，可得数列{an-2x}是首项为1 000•
3
2
-3x，公比为
3
2
的等比数列，求出数列的通项，利用a5+x≥2 000，可得结论．
解答： 解：（1）2009年初的剩余资金为1 000•
3
2
-x；2010年初的剩余资金为（1 000•
3
2
-x）•
3
2
-x．
（2）设从2008年底这家牛奶厂的资金组成数列为{an}，
则这个数列满足a1=1 000•
3
2
-x，an+1=
3
2
an-x．
设an+1+λ=
3
2
（an+λ），展开与an+1=
3
2
an-x比较可得λ=-2x，
即an+1=
3
2
an-x可以变换为an+1-2x=
3
2
（an-2x），
即数列{an-2x}是首项为1 000•
3
2
-3x，公比为
3
2
的等比数列，
所以an-2x=（1 000•
3
2
-3x）•（
3
2
）n-1，即an=2x+（1 000•
3
2
-3x）•（
3
2
）n-1．
从2008年初到2012年底共计5年，
所以到2012年底该牛奶厂剩余资金
a5=2x+（1 000•
3
2
-3x）•（
3
2
）4，只要a5+x≥2 000，
即2x+（1 000•
3
2
-3x）•（
3
2
）4+x≥2 000即可，
解得x≤
17900
39
≈458.97（万元）．
故当消费基金不超过458万元时，才能实现转向经营的目标．
点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查数列模型，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
给定两个命题p和q，若p是￢q的充分而不必要条件，则￢p是q的（　　）
A、充分而不必要条件
B、必要而不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
已知函数f（x）=（ax2+2x-a）•ex（a∈R）．
（1）若函数y=f（x）在x=-2处取得极值，求a的值，并判断取得的极值是极大值还是极小值；
（2）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y=2ex+b，求a+b的值．
如图，在一次测量活动中，要测量河两岸B、C两点间的距离，测量者在河的一侧，测得AC=24m，∠BAC=45°，∠ACB=75°，求B、C两点间的距离．
若在（1+ax）5的展开式中x3的系数为-80，求a的值．
数列{an}满足an+1+（-1）nan=2n-1，且a1=2，Sn是an的前n和．
（1）求a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8；
（2）求an；
（3）求Sn．
设函数f（x）=1-x2，x∈[-
2
，1]．
（1）求f（x）的值域；
（2）求集合M={k|使方程f（x）=k（x+2）有两个不等实根}．
如图，圆x2+y2=8内有一点P0（-1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．
（1）当α=135°时，求直线AB的方程；
（2）当弦AB最短时，求直线AB的方程．
设函数f（x）=lnx+x，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值．

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