题目内容
双曲线C：
-
=1的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是 ．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
考点：双曲线的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设直线方程为：y=k（x-c）代入双曲线方程得：（b2-a2k2）x2+2a2k2cx-a2k2c2-a2b2=0，方程有两根，x1•x2=（-a2k2c2-a2b2）÷（b2-a2k2）＜0，因-a2k2c2-a2b2必定小于0，故只需：b2-a2k2＞0即可，由此能求出结果．
解答：
解：由题意可设直线方程为：y=k（x-c）代入双曲线方程得：
（b2-a2k2）x2+2a2k2cx-a2k2c2-a2b2=0，方程有两根，可设为x1＞0，x2＜0：
x1•x2=（-a2k2c2-a2b2）÷（b2-a2k2）＜0，
因-a2k2c2-a2b2必定小于0，故只需：b2-a2k2＞0即可，
b2-a2k2=c2-a2-a2k2=a2e2-a2-a2k2=a2（e2-1-k2）＞0
e2-1-k2＞0，
即e2-k2＞1．
反之当e2-k2＞1时，直线l与双曲线C的左右两支都相交，
故直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是e2-k2＞1，
故答案为：e2-k2＞1．
（b2-a2k2）x2+2a2k2cx-a2k2c2-a2b2=0，方程有两根，可设为x1＞0，x2＜0：
x1•x2=（-a2k2c2-a2b2）÷（b2-a2k2）＜0，
因-a2k2c2-a2b2必定小于0，故只需：b2-a2k2＞0即可，
b2-a2k2=c2-a2-a2k2=a2e2-a2-a2k2=a2（e2-1-k2）＞0
e2-1-k2＞0，
即e2-k2＞1．
反之当e2-k2＞1时，直线l与双曲线C的左右两支都相交，
故直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是e2-k2＞1，
故答案为：e2-k2＞1．
点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断和应用，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的灵活运用．
练习册系列答案
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已知R为实数集，集合P={x|x＞-2}，集合Q={x|-x2+3x+4＞0}，则P∩（∁RQ）=（ ）
| A、（-2，-1）∪（4，+∞） |
| B、（-2，-1]∪[4，+∞） |
| C、（-1，4） |
| D、（-2，-1] |
设集合A={x∈R|2x≤4}，集合B={x∈R|y=lg（x-1）}，则下列说法正确的是（ ）
| A、A∩B=[1，2] | ||
B、（∁RA）∪（∁RB）={x∈R|
| ||
| C、A∪（∁RB）=（-∞，1] | ||
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