Question

如图，在正四棱锥P-ABCD中，点M为棱AB的中点，点N为棱PC上的点．
（1）若PN=NC，求证：MN∥平面PAD；
（2）试写出（1）的逆命题，并判断其真假．若为真，请证明；若为假，请举反例．

Answer 1

（1）取CD的中点E，连接ME，NE，





则NE∥PD，ME∥AD
又∵NE?平面MNE，ME?平面MNE，ME∩NE=E
AD?平面APD，PD?平面APD，PD∩AD=D
故平面MNE∥平面PAD
又∵MN?平面MNE，
∴MN∥平面PAD
（2）（1）的逆命题为：若MN∥平面PAD，则PN=NC，这也是一个真命题，理由如下：
取CD的中点E，连接ME，NE，





则NE∥PD，则NE∥平面ADP
又由MN∥平面PAD
MN∩ME=M
则平面MNE∥平面PAD
由面面平行的性质得，ME∥PD
∵E为DC的中点，故N这PC的中点，
故PN=NC