Question

20．已知函数f（x）=-x³+3x²+9x+a
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，解f′（x）＜0，即可得到结论．
（2）解不等式求出函数的单调区间，比较极值与最值的大小即可．

解答 解：（1）∵f（x）=-x³+3x²+9x+a，
∴f′（x）=-3x²+6x+9，
由f′（x）=-3x²+6x+9＜0，
即x²-2x-3＞0，解得x＞3或x＜-1，
即函数的单调递减区间为（3，+∞），（-∞，-1），单调递增区间是（-1，3）；
（2）列表如下；

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，2）	2
f′（x）		-	0	+
f（x）	a-14	递减	a-7	递增	a+ 22

∴f（x）_最大值=f（2）=a+22，∴a+22=20，∴a=-2，∴f（x）_最小值=f（-1）=-7
故函数的最小值是-7．

点评 本题主要考查函数单调区间的求解，考查利用导数求函数在闭区间上的最值问题．求函数的导数，利用导数和单调性之间的关系是解决本题的关键．