Question

8．奇函数f（x）定义域为（-π，0）∪（0，π），其导函数是f′（x）．当0＜x＜π时，有f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx的解集为（　　）

• A． （$\frac{π}{4}$，π）
• B． （-π，-$\frac{π}{4}$）∪（$\frac{π}{4}$，π）
• C． （-$\frac{π}{4}$，0）∪（0，$\frac{π}{4}$）
• D． （-$\frac{π}{4}$，0）∪（$\frac{π}{4}$，π）

Answer 1

分析 设g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，利用导数判断出g（x）单调性，根据函数的单调性求出不等式的解集

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}$，
∵f（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的奇函数，
故g（-x）=$\frac{f（-x）}{sin（-x）}$=$\frac{-f（x）}{-sinx}$=g（x）
∴g（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的偶函数．
∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0
∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，π）上单调递减，
∴g（x）在（-π，0）上单调递增．
∵f（$\frac{π}{2}$）=0，
∴g（$\frac{π}{2}$）=$\frac{f（\frac{π}{2}）}{sin\frac{π}{2}}$=0，
∵f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx，即g（$\frac{π}{4}$）＞g（x）；
①当sinx＞0时，即x∈（0，π），所以x∈（$\frac{π}{4}$，π）；
②当sinx＜0时，即x∈（-π，0）时，g（$\frac{π}{4}$）=g（-$\frac{π}{4}$）＜g（x）；
所以x∈（-$\frac{π}{4}$，0）；
即不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx的解集为解集为（-$\frac{π}{4}$，0）∪（$\frac{π}{4}$，π），
故选：D

点评 求抽象不等式的解集，一般能够利用已知条件判断出函数的单调性，再根据函数的单调性将抽象不等式转化为具体函的不等式解之