Question

13．已知f（x）=$\frac{2（x-a）}{{x}^{2}+bx+1}$是奇函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）关于x的不等式2m-1＞f（x）有解，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用函数是奇函数，得到f（x）+f（-x）=0恒成立，推出a=0，b=0，化简函数的解析式，求出函数的导数，由f'（x）＞0，由f'（x）＜0，求解函数的单调区间．
（II）利用2m-1＞f（x）有解，推出2m-1＞f（x）_min即可，利用函数的单调性求解函数的最值，求解即可．

解答 解：（I）∵$f（x）=\frac{2（x-a）}{{{x^2}+bx+1}}$是奇函数，∴f（x）+f（-x）=0恒成立…（1分）
∴（a+b）x²+a=0恒成立，∴a=0，b=0…（3分）
∴$f（x）=\frac{2x}{{{x^2}+1}}$，$f'（x）=\frac{2（1-x）（1+x）}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}$…（4分）
由f'（x）＞0，得-1＜x＜1；由f'（x）＜0，得x＞1或x＜-1          …（5分）
故函数f（x）的增区间为（-1，1），f（x）的减区间为（-∞，-1）和（1，+∞）…（6分）．
（II）∵2m-1＞f（x）有解，∴2m-1＞f（x）_min即可               …（7分）
当x＞0时，f（x）＞0；当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，f（x）＜0…（8分）
由（I）知f（x）在（-∞，-1）上为减函数，在（-1，0）上为增函数
∴f（x）_min=f（-1）=-1…（10分）
∴2m-1＞-1，∴m＞0                                    …（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．