Question

对于集合M，定义函数f_M（x）=

-1，x∈M 1，x∉M

对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f_M（x）•f_N（x）=-1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．
（1）用列举法写出集合A△B=

 

；
（2）用C_ard（M）表示有限集合M所含元素的个数，当C_ard（X△A）+C_ard（X△B）取最小值时集合X的可能情况有

 

种．

Answer 1

考点：集合中元素个数的最值,集合的表示法

专题：新定义,集合

分析：（1）利用新集合的定义，研究集合A△B的元素特征，得出A△B集合；（2）利用新集合A△B的定义，理解集合C_ard（X△A）和集合C_ard（X△B）中的元素个数概念，根据个数和最小的情况，研究出集合X的元素特征，得到集合X与A∪B，A∩B的关系，从而求出集合X的可能情况．

解答： 解：（1）∵函数f_M（x）=

-1，x∈M 1，x∉M

，
∴f_M（x）和f_N（x）的可能值为1或-1．
根据集合M△N地定义，有f_M（x）•f_N（x）=-1，
∴f_M（x）=1，f_N（x）=-1或者f_M（x）=-1，f_N（x）=1．
即

x∉M x∈N

或者

x∈M x∉N

．
记集合A△B的元素为x，
则有：

x∈A x∉B

或者

x∉A x∈B

．
∵A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．
∴x可取1，6，10，16．
∴集合A△B={1，6，10，16}．
（2）∵集合A△B的元素为x，则有：

x∈A x∉B

或者

x∉A x∈B

，
∴x∈A∪B，x∉A∩B．
要使C_ard（X△A）最小，必须C_ard（X∪A）最小，同时C_ard（X∩A）最大，
要使C_ard（X△A）+C_ard（X△B）取最小，则A∩B⊆X⊆A∪B．
例如：当X=A∩B={2，4，8}时，X△A={6，10}，X△B={1，16}，C_ard（X△A）=2，C_ard（X△B）=2，C_ard（X△A）+C_ard（X△B）=4；
 当X={2，4，8，6}时，X△A={10}，X△B={1，6，16}，C_ard（X△A）=1，C_ard（X△B）=3，C_ard（X△A）+C_ard（X△B）=4；
当X={2，4，8，6，16}时，X△A={10，16}，X△B={1，6}，C_ard（X△A）=2，C_ard（X△B）=2，C_ard（X△A）+C_ard（X△B）=4；
…
∴2∉X，4∉X，8∉X恒成立，
  1∉X，6∈X，10∈X，16∉X，有可能成立．
即A∪B⊆X⊆A∩B．
∵C_ard（A∪B）=8，C_ard（A∩B）=4，
∴C_ard（A∪B）-C_ard（A∩B）=4．
集合X是{2，4，8}和{1，6，10，16}的子集的并集．
∵{1，6，10，16}的子集个数为 2⁴=16，
∴集合X的可能情况有16种．
故答案为：（1）{1，6，10，16}；（2）16．

点评：本题考查了元素与集合的关系、集合与集合的关系、子集个数等知识点，还考查了学生对新定义概念的理解和应用，思维能力要求高，属于难题．