Question

下列说法：
（1）命题“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”；
（2）关于x的不等式a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立，则a的取值范围是a＜3；
（3）对于函数f(x)=

ax

1+|x|

(a∈R且a≠0)，则有当a=1时，?k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点；
（4）已知m，n，s，t∈R+，m+2n=5，

m

s

+

n

t

=9，n＞m，且m，n是常数，又s+2t的最小值是1，则m+3n=7．
其中正确的个数是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,命题的否定,根的存在性及根的个数判断,基本不等式在最值问题中的应用

专题：综合题

分析：（1）由特称命题的否定是全称命题，判定命题是否正确；
（2）由0＜sin²x≤1，求出sin²x+

2

sin2x

的最小值，即求出a的取值范围；
（3）验证0是方程f（x）-kx=0的根，判定x＞0、x＜0时，方程

x

1+x

-kx=0是否有解，即函数g（x）有无零点即可；
（4）根据题意，由s+2t的最小值是1，得出

m

+

2n

=3①，又m+2n=5②，由①②解得m、n的值，求出m+3n即可．

解答： 解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，可以判定命题“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”，
∴命题（1）是真命题；
（2）∵0＜sin²x≤1，∴sin²x+

2

sin2x

有最小值是1+

2

1

=3，
∴关于x的不等式a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立时，a的取值范围是a＜3，命题正确；
（3）∵a=1时，f（x）=

x

1+|x|

，∴g（0）=f（0）-0=0，∴x=0是函数g（x）的一个零点；
当x＞0时，若?k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在区间（0，+∞）上有零点，则方程

x

1+x

-kx=0必有解，此方程化为kx=1-k，
∵x=

1-k

k

＜0，∴此方程无解，即不存在k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在区间（0，+∞）上有零点；
同理不存在k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在区间（-∞，0）上有零点，∴命题（3）错误；
（4）由题意，s+2t=

1

9

（s+2t）•（

m

s

+

n

t

）=

1

9

（m+2n+

2tm

s

+

sn

t

）≥

1

9

（m+2n+2

m•2n

）=

1

9

(

m

+

2n

)2=1，
∴

m

+

2n

=3①，又∵m+2n=5②，
由①②解得m=1，n=2；
∴m+3n=7；
∴命题（4）正确．
所以，以上命题正确的是（1）、（2），（4）；
故答案为：3．

点评：本题考查了简单逻辑关系、基本不等式以及函数的零点等知识的应用问题，解题时应仔细分析每一个命题是否正确，是综合题．