Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积，若f（M）=（

1

2

，x，y），且

1

x

+

a

y

≥8恒成立，则正实数a的最小值为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,基本不等式

专题：空间位置关系与距离

分析：由题设和（M）的意义可得x+y=

1

2

，由此能求出正实数a的最小值．

解答： 解：由题设知VP-ABC=VA-BPC=

1

3

S△PBC•PA=1，
于是依f（M）的意义可得

1

2

+x+y=1，即有x+y=

1

2

，
从而

1

x

+

a

y

=(

1

x

+

a

y

)•2(x+y)=2[1+a+(

y

x

+

ax

y

)]≥2(1+a+2

a

)=2(1+

a

)2，
（其中等号当且仅当

y

x

=

ax

y

即y=

a

x时成立．）
∴由

1

x

+

a

y

≥8恒成立，得2(1+

a

)2≥8，
解得a≥1．
∴正实数a的最小值为1．
故答案为：1．

点评：本题考查满足条件的实数的最小值的求法，解题时要注意棱锥的体积、均值定理的合理运用，是中档题．