Question

16．已知直线x=$\frac{π}{6}$是函数f（x）=sin（2x+φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）图象的一条对称轴．
（1）求函数f（x）的解析式；          
（2）求函数f（-x）的单调增区间；
（3）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由直线x=$\frac{π}{6}$是函数f（x）图象的一条对称轴，求出φ的值，即得f（x）的解析式；
（2）利用正弦函数的图象与性质即可求出f（-x）的单调增区间；
（3）根据x的取值范围，求出sin（2x+$\frac{π}{6}$）的取值范围即可．

解答 解：（1）∵直线x=$\frac{π}{6}$是函数f（x）=sin（2x+φ）图象的一条对称轴，
∴2×$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得φ=kπ+$\frac{π}{6}$；
又0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$；
（2）f（-x）=sin（-2x+$\frac{π}{6}$）=-sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{5}{6}$π+kπ，k∈Z，
∴函数f（-x）的增区间为$[kπ+\frac{π}{3}，kπ+\frac{5}{6}π]，k∈Z$；
（3）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，
∴2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴f（x）的值域为$[-\frac{1}{2}，1]$．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．