Question

已知双曲线C₁：

x2

a2

-y2=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于A，B两点．
（1）求a的取值范围；
（2）求双曲线离心率e的取值范围；
（3）求|AB|．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）联立直线方程和双曲线方程，利用判别式大于0求a的取值范围；
（2）根据（1）中求得的a的范围求双曲线离心率e的取值范围；
（3）利用根与系数关系求出A，B横坐标的和与积，然后代入弦长公式的答案．

解答： 解：（1）联立

x2 a2 -y2=1 x+y=1

，得（1-a²）x²+2a²x-2a²=0，
∵双曲线C₁：

x2

a2

-y2=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于A，B两点，
∴

1-a2≠0 △=(2a2)2+8a2(1-a2)＞0

，解得：0＜a＜

2

且a≠1．
∴a的取值范围是0＜a＜

2

且a≠1；
（2）∵c²=a²+1，
∴

c2

a2

=

a2+1

a2

=1+

1

a2

，
∵0＜a＜

2

且a≠1，
∴

1

a2

＞

1

2

且

1

a2

≠1，
∴

c2

a2

＞

3

2

且

c2

a2

≠2，
则双曲线离心率e的取值范围是a＞

6

2

且a≠

2

；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

2a2

a2-1

，x1x2=

2a2

a2-1

，
∴|AB|=

2

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

( 2a2 a2-1 )2-4 2a2 a2-1

=

2 2 a 2-a2

|a2-1|

．

点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了直线与双曲线的关系，训练了弦长公式的应用，是中档题．