Question

16．已知函数f（x）是R上的增函数，且f（sinω）+f（-cosω）＞f（-sinω）+f（cosω），其中ω是锐角，并且使得g（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）在（$\frac{π}{2}$，π）上单调递减，则ω的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{π}{4}$，$\frac{5}{4}$]
• B． [$\frac{5}{4}$，$\frac{π}{2}$）
• C． [$\frac{1}{2}$，$\frac{π}{4}$）
• D． [$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$]

Answer 1

分析 根据函数的基本性质，sinω与cosω的关系要么sinω＞cosω，要么sinω≤cosω，根据已知条件容易判断出sinω＞cosω，由ω为锐角便得到$\frac{π}{4}$＜ω＜$\frac{π}{2}$，而由g（x）在（$\frac{π}{2}$，π）单调递减便得到g′（x）=ωcos（ωx+$\frac{π}{4}$）≤0在（$\frac{π}{2}$，π）内恒成立，所以得到cos（ωx+$\frac{π}{4}$））≤0在（$\frac{π}{2}$，π）内恒成立，所以函数cos（ωx+$\frac{π}{4}$）的周期$T=\frac{2π}{ω}≥π$，所以$\frac{π}{4}＜ω≤2$，根据此时的ω范围可得到ω只需再满足πω+$\frac{π}{4}$$≤\frac{3π}{2}$，即可得到ω的范围．

解答 解：①若sinω＞cosω，则-cosω＞-sinω；
∵f（x）是R上的增函数；∴f（sinω）＞f（cosω），f（-cosω）＞f（-sinω）；
∴符合f（sinω）+f（-cosω）＞f（cosω）+f（-sinω）；
∵ω是锐角；∴$\frac{π}{4}$＜ω＜$\frac{π}{2}$；
②若sinω≤cosω，则-cosω≤-sinω；
∴f（sinω）+f（-cosω）≤f（cosω）+f（-sinω），显然与已知矛盾，即这种情况不存在；
由g′（x）=ωcos（ωx+$\frac{π}{4}$）；
∴由已知条件知，cos（ωx+$\frac{π}{4}$）≤0在x∈（$\frac{π}{2}$，π）上恒成立；
∴函数cos（ωx+$\frac{π}{4}$）的周期$\frac{2π}{ω}≥2•（π-\frac{π}{2}）=π$；
∴ω≤2；∴$\frac{π}{4}$＜ω≤2；
由$\frac{π}{2}＜x＜π$得，$\frac{πω}{2}＜ωx+\frac{π}{4}＜πω+\frac{π}{4}$，
联立：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{2}≤\frac{πω}{2}+\frac{π}{4}}\\{\frac{πω}{2}+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}}\end{array}\right.$    解得：$\frac{1}{2}≤ω≤\frac{5}{4}$．
∴$\frac{π}{4}＜ω≤\frac{5}{4}$．
∴ω的取值范围为（$\frac{π}{4}，\frac{5}{4}$]．
故选择A．

点评 考查了函数的基本性质中的增函数的定义，x是锐角时，满足sinx＞cosx的x的范围的求解，三角函数函数周期的定义及求法，以及函数单调性以及导函数符号的关系．属于中档题．