Question

4．记max{p，q}=$\left\{\begin{array}{l}{p，p≥q}\\{q，p＜q}\end{array}\right.$，记M（x，y）=max{|x²+y+1|，|y²-x+1）|}，其中x，y∈R，则M（x，y）的最小值是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由题意可得M（x，y）≥|x²+y+1|，M（x，y）≥|y²-x+1|，两式相加，根据绝对值不等式的性质和配方法，即可得最小值．

解答 解：∵M（x，y）=max{|x²+y+1|，|y²-x+1|}，
∴M（x，y）≥|x²+y+1|，M（x，y）≥|y²-x+1|，
∴2M（x，y）≥|x²+y+1|+|y²-x+1|≥|x²-x+y²+y+2|=|（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$|≥$\frac{3}{2}$．
∴M（x，y）≥$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用绝对值不等式的性质和配方思想，考查运算能力，属于中档题．