题目内容

5．已知p：?t∈R，函数f（x）=$\frac{{t{e^x}+{e^{-x}}}}{2}$在R上单调递增；q：?a∈R，函数g（x）=ln（x2+ax+1）为偶函数．则下列命题中真命题的是（　　）
A．p∧￢qB．￢p∨qC．p∨￢qD．p∧q

分析 对于命题p：取t=0，函数f（x）=$\frac{1}{2{e}^{x}}$在R上单调递减，即可判断出真假．对于q：取a=0，函数g（x）=ln（x2+1）为偶函数，即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．

解答 解：对于命题p：取t=0，函数f（x）=$\frac{1}{2{e}^{x}}$在R上单调递减，因此是假命题．
对于q：取a=0，函数g（x）=ln（x2+1）为偶函数，是真命题．
则下列命题中真命题的是（￢p）∨q．
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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15．已知F1、F2是双曲线的两焦点，过F2且垂直于实轴的直线交双曲线于P、Q两点，∠PF1Q=60°，则离心率e=$\sqrt{3}$．
16．已知函数f（x）是R上的增函数，且f（sinω）+f（-cosω）＞f（-sinω）+f（cosω），其中ω是锐角，并且使得g（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）在（$\frac{π}{2}$，π）上单调递减，则ω的取值范围是（　　）
A．（$\frac{π}{4}$，$\frac{5}{4}$]B．[$\frac{5}{4}$，$\frac{π}{2}$）C．[$\frac{1}{2}$，$\frac{π}{4}$）D．[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$]
13．给出下列四个命题：
①若x＞0，且x≠1，则lgx+$\frac{1}{lgx}$≥2； 
②f（x）=lg（x2+ax+1），定义域为R，则-2＜a＜2；
③函数y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）的一条对称轴是直线x=$\frac{5}{12}$π；
④若x∈R，则“复数z=（1-x2）+（1+x）i为纯虚数”是“lg|x|=0”必要不充分条件．
其中，所有正确命题的序号是  ②．
20．设函数f（x）=x2ln（-x+$\sqrt{{x^2}+1}}$）+1，若f（a）=11，则f（-a）=-9．
10．已知函数f（x）=asinx•cosx-$\sqrt{3}$acos2x+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$a+b（a＞0）．
（Ⅰ）写出函数的单调递增区间；
（Ⅱ）设x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）的最小值是-$\sqrt{3}$，最大值是2，求实数a，b的值．
17．已知a，b是空间两条直线，α是空间一平面，b?α．若p：a∥b；q：a∥α，则（　　）
A．p是q的充分不必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的必要条件，也不是q的充分条件
14．已知a∈R，i是虚数单位，若（1-i）（1+ai）=2，则a=（　　）
A．1B．$\sqrt{5}$C．3D．$\sqrt{6}$
4．已知数列{an}中，a1=1，an-an-1=2（n≥2）
（I）求数列{an}的通项公式和它的前n项和Sn；
（Ⅱ）设bn=（an+1）•2an，求数列{bn}的前n项和Tn．

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