Question

17．如图，AB是圆O的一条切线，切点为B，AF、AD都是圆O的割线，AD交圆O于点C，AF交圆O于点E，且∠ABC=∠ECF，连接EC、FB，BF过圆心O．
（I）证明：∠CBF=∠EFB；
（Ⅱ）已知AB=5，AC=4，BD=OB=2，求CF的长．

Answer 1

分析 （I）证明：EC∥BF，即可证明∠CBF=∠EFB；
（Ⅱ）证明△ABC∽△ADB，利用AB=5，AC=4，BD=OB=2，求CF的长．

解答 （I）证明：∵AB是圆O的一条切线，切点为B，
∴∠ABC=∠BFC，
∵∠ABC=∠ECF，
∴∠BFC=∠ECF，
∴EC∥BF，
∴∠CBF=∠EFB；
（Ⅱ）解：∵AB是圆O的一条切线，切点为B，
∴△ABC∽△ADB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{DB}$，
∵AB=5，AC=4，BD=2，
∴BC=$\frac{8}{5}$，
∵BF过圆心O，OB=2，
∴CF=$\sqrt{16-\frac{8}{5}}$=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查圆的切线性质，考查切割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．