Question

16．已知函数f（x）=cos（$\frac{π}{2}$-x）+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+x）（x∈R）．
（1）求函数y=f（x）的最大值，并指出此时x的值；
（2）若α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）且f（α）=1，求f（2α）的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式、两角和差的正弦公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值，求得函数y=f（x）的最大值，并指出此时x的值．
（2）由条件求得α的值，结合函数的解析式从而求得f（2α）的值．

解答 解：（1）函数f（x）=cos（$\frac{π}{2}$-x）+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
故当x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为2，此时，x=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
（2）若α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）且f（α）=2sin（α+$\frac{π}{3}$）=1，即 sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，∴α=-$\frac{π}{6}$，
∴f（2α）=2sin（-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=0．

点评 本题主要考查诱导公式、两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的最值，求三角函数的值，属于基础题．