Question

解答下列各题：（i为虚数单位）
（1）当z=

i-1

2

时，求z²⁰+z¹⁰+1的值；
（2）已知复数z满足|z-3-4i|=1，求|z|的取值范围．

Answer 1

考点：复数求模

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）由z求得z²=-i，进一步得到z²⁰和z¹⁰的值，代入z²⁰+z¹⁰+1得答案；
（2）由|z-3-4i|=1的几何意义知，复数z在复平面所表示的点在以C（3，4）为圆心，以1为半径的圆上，由此可得|z|的取值范围．

解答： 解：（1）∵z=

i-1

2

，
∴z2=(

i-1

2

)2=-i，
∴z²⁰=（-i）¹⁰=-1，
z¹⁰=（-i）⁵=-i，
∴z²⁰+z¹⁰+1=-i；
（2）复数z在复平面所表示的点在以C（3，4）为圆心，以1为半径的圆上．
|z|表示复数z在复平面上圆C上的点到原点的距离．
∴|z|∈[4，6]．

点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数绝对值的几何意义，是基础题．