Question

已知正项等比数列{a_n}的公比q=2，若存在两项a_m，a_n，使得

aman

=4a₁，则

1

m

+

4

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,等比数列的性质

专题：不等式的解法及应用

分析：正项等比数列{a_n}的公比q=2，由于存在两项a_m，a_n，使得

aman

=4a₁，可得

a1•2m-1×a1•2n-1

=4a₁，化为m+n=6．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：正项等比数列{a_n}的公比q=2，
∵存在两项a_m，a_n，使得

aman

=4a₁，
∴

a1•2m-1×a1•2n-1

=4a₁，
∵a₁≠0，
∴2^m+n-2=2⁴，
∴m+n=6．
则

1

m

+

4

n

=

1

6

（m+n）（

1

m

+

4

n

）=

1

6

(5+

n

m

+

4m

n

)≥

1

6

(5+2

n m • 4m n

)=

3

2

，当且仅当n=2m=4时取等号．
∴

1

m

+

4

n

的最小值为

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．