Question

3．过点$（\sqrt{2}，0）$引直线l与曲线y=$\sqrt{1-{x^2}}$相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取得最大值时，直线l的倾斜角为150°．

Answer 1

分析 由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．

解答 解：由y=$\sqrt{1{-x}^{2}}$，得x²+y²=1（y≥0）．
所以曲线y=$\sqrt{1{-x}^{2}}$表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），
设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，
则-1＜k＜0，直线l的方程为y-0=k（x-$\sqrt{2}$），即kx-y-$\sqrt{2}$k=0．
则原点O到l的距离d=$\frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
l被半圆截得的半弦长为 $\sqrt{1{-（\frac{-\sqrt{2}k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1{-k}^{2}}{1{+k}^{2}}}$．
则S_△ABO=$\frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$•$\sqrt{\frac{1{-k}^{2}}{1{+k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{-{2{（k}^{2}+1）}^{2}+6{（k}^{2}+1）-4}{{{（k}^{2}+1）}^{2}}}$=$\sqrt{-\frac{4}{{{（k}^{2}+1）}^{2}}+\frac{6}{{k}^{2}+1}-2}$．
令 $\frac{1}{{k}^{2}+1}$=t，则S_△ABO=$\sqrt{-{4t}^{2}+6t-2}$，当t=$\frac{3}{4}$，即 $\frac{1}{1{+k}^{2}}$=$\frac{3}{4}$时，S_△ABO有最大值为$\frac{1}{2}$．
此时由 $\frac{1}{1{+k}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，解得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故倾斜角是150°，
故答案为：150°．

点评 本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆的关系，考查了学生的运算能力，考查了配方法及二次函数求最值，解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值，是中档题．