Question

10．数列{a_n}满足a₁=1，对任意的n∈N^*都有a_n+1=a₁+a_n+n，则$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{{{a_{2016}}}}$=$\frac{4032}{2017}$．

Answer 1

分析 由a_n+1-a_n=a₁+n，即a_n+1-a_n=1+n，采用累加法求得a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$（n∈N*），则$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），采用裂项法即可求得$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{{{a_{2016}}}}$的值．

解答 解：a_n+1-a_n=a₁+n，即a_n+1-a_n=1+n，
∴a₂-a₁=2，a₃-a₂=3，…，a_n-a_n-1=n（n≥2），
上述n-1个式子相加得a_n-a₁=2+3+…+n，
∴a_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
当n=1时，a₁=1满足上式，
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$（n∈N*），
因此$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{{{a_{2016}}}}$=
=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）
=2（1-$\frac{1}{2017}$）
=$\frac{4032}{2017}$
故答案为：$\frac{4032}{2017}$．

点评 本题考查数列的通项公式及前n项和公式，考查“累加法”及“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．