Question

5．若不等式|2x-1|-|x+a|≥a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{3}$]
• B． （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$]
• C． （-$\frac{1}{2}$，0）
• D． （-∞，-$\frac{1}{4}$]

Answer 1

分析 分类讨论，求出函数的最小值，利用最小值大于等于a，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：-a＜$\frac{1}{2}$时，|2x-1|-|x+a|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+1-a，x＜-a}\\{-x+1+a，-a≤x≤\frac{1}{2}}\\{x+1-a，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，x=$\frac{1}{2}$时，最小值为-$\frac{1}{2}$-a，
∵不等式|2x-1|-|x+a|≥a对任意的实数x恒成立，
∴-$\frac{1}{2}$-a≥a，∴a≤-$\frac{1}{4}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜a≤-$\frac{1}{4}$；
-a=$\frac{1}{2}$时，|2x-1|-|x+a|=|x-$\frac{1}{2}$|≥-$\frac{1}{2}$，成立；
-a＞$\frac{1}{2}$时，同理可得x=$\frac{1}{2}$时，|2x-1|-|x+a|最小值为$\frac{1}{2}$+a，
∵不等式|2x-1|-|x+a|≥a对任意的实数x恒成立，
∴$\frac{1}{2}$+a≥a恒成立，∴a＜-$\frac{1}{2}$．
综上所述a≤-$\frac{1}{4}$．
故选D．

点评 本题考查绝对值不等式，考查分类讨论的数学思想，正确转化是关键．