Question

（本题满分15分）已知抛物线，圆，过点作直线，自上而下依次与上述两曲线交于点（如图所示），．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）作关于轴的对称点，求证： 三点共线；

（Ⅲ）作关于轴的对称点，求到直线的距离的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）到直线的距离的最大值为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求，由题意可知，是焦点弦，可由焦半径来求，故设，，有焦半径公式可得，由抛物线方程得，故可设直线方程为，代入抛物线方程，得，有根与系数关系可得，可求得的值；（Ⅱ）求证： 三点共线，只需证明与共线，由题意知，故可写出与的坐标，由共线向量的充要条件可知，只要证明与的坐标的交叉积等于零即可，可利用（Ⅰ）中条件证得；（Ⅲ）作关于轴的对称点，求到直线的距离的最大值，将直线，代入圆方程，求得点的坐标，从而可得点，利用点到直线距离得，利用基本不等式即可求出点到直线的距离的最大值.

试题解析：（Ⅰ）设直线，代入抛物线方程，得.

设，，根据抛物线定义得，

故，，所以，

而，代入上式，得；

（Ⅱ）由题意，，由（1），，

，三点共线；

（Ⅲ）将直线，代入圆方程，得.，

点到直线的距离

． .

考点：抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，对称问题，点到直线距离.