Question

设x，y满足约束条件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=(

2

a

+

1

b

)x+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+2b的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划的应用

专题：数形结合法,不等式的解法及应用

分析：作出可行域，利用目标函数z=(

2

a

+

1

b

)x+y（a＞0，b＞0）在（1，4）处取得最大值为8，可得

2

a

+

1

b

=4，利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求a+2b的最小值．

解答： 解：满足约束条件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

的可行域，如图所示，
四边形的四个顶点坐标分别为（0，0），（0，2），（1，4），（0.5，0），
由题意，目标函数z=(

2

a

+

1

b

)x+y（a＞0，b＞0）在（1，4）处取得最大值为8，
∴

2

a

+

1

b

=4，
∴a+2b=

1

4

（a+2b）（

2

a

+

1

b

）=

1

4

（4+

a

b

+

4b

a

）≥

1

4

（4+2

a b • 4b a

）=2，
当且仅当

a

b

=

4b

a

时，取等号，
∴a+2b的最小值为2．
故答案为：2．

点评：本题考查线性规划知识的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．