Question

如图甲，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB，AC靠近B，C的三等分点，点G为边BC边的中点，线段AG交线段ED于点F．将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，连接AB，AC，AG，形成如图乙所示的几何体．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面AFG
（Ⅱ）求四棱锥A-BCDE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由图形折叠前后的特点可知DE⊥AF，DE⊥GF，ED∥BC，由线面垂直的判定和性质定理，即可得证；
（Ⅱ）由面面垂直的性质定理，得到AF⊥平面BCDE，再由棱锥的体积公式即可得到答案．

解答： （Ⅰ）证明：在图甲中，由△ABC是边长为6的等边三角形，
E，D分别为AB，AC靠近B，C的三等分点，
点G为边BC边的中点，得
DE⊥AF，DE⊥GF，ED∥BC，
在图乙中仍有，DE⊥AF，DE⊥GF，且AF∩GF=F，
∴DE⊥平面AFG，
∵ED∥BC，∴BC⊥平面AFG；
（Ⅱ）解：∵平面AED⊥平面BCDE，AF⊥ED，
∴AF⊥平面BCDE，
∴V_A-BCDE=

1

3

AF•S_BCDE=

1

3

×

3

2

×4×（

3

4

×36-

3

4

×16）=10．

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面垂直的判定和性质定理，以及面面垂直的性质定理，同时考查棱锥的体积计算，属于基础题．