Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极大值、极小值；
（Ⅱ）过点（0，-16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（I）f′（x）=3ax²+2ax-3，由于函数f（x）在x=±1处取得极值，可得f′（1）=f′（-1）=0，即可解得a，b．分别解出f′（x）=0，f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出函数的单调性、极值．
（II）曲线f（x）=x³-3x，点（0，-16）不在曲线上．设切点为P（s，t），可得t=s³-3s．f′（s）=3（s²-1），切线方程为：y-t=3（s²-1）（x-s）．把点（0，-16）代入即可解出s．

解答： 解：（I）f′（x）=3ax²+2ax-3，
∵函数f（x）在x=±1处取得极值，
∴f′（1）=f′（-1）=0，即

3a+2b-3=0 3a-2b-3=0

，解得a=1，b=0．
∴f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，解得x=±1，
当x∈（-∞，-1）∪（1，∞）时，f′（x）＞0，∴区间（-∞，-1），（1，∞）是函数f（x）的单调递增区间．
当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，函数在此区间上单调递减．
∴f（x）的极大值为f（-1）=2，极小值为为f（-1）=-2．
（II）曲线f（x）=x³-3x，点（0，-16）不在曲线上．
设切点为P（s，t），则t=s³-3s．f′（s）=3（s²-1），
因此切线方程为：y-t=3（s²-1）（x-s）．
∵点（0，-16）在切线上，
∴-16-（s³-3s）=3（s²-1）（0-s），
化为s³=8，解得s=2，
∴切点为P（2，2），
故曲线方程为：9x-y-16=0．

点评：b本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、导数的几何意义、切线的方程，考查了推理能力和计算能力，属于难题．