Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，满足f（1）=1，且当a，b∈[-1，1]，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．若f（x）≤m²-2am+1（m≠0），对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，实数m的取值范围是（　　）

• A、（-2，2）
• B、（-2，0）∪（0，2）
• C、（-∞，-2]∪[2，+∞）
• D、（-2，-1）∪（1，2）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先判断单调性，设-1≤x₁＜x₂≤1，再利用函数的奇偶性和已知的条件得到

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

＞0，由x₂-x₁＞0，得f（x₂）+f（-x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），由函数的单调性的定义得到f （x） 在[-1，1]上是增函数．知f（x）_max=f（1）=1，要f（x）≤m²-2am+1对任意x∈[-1，1]恒成立，只需1≤m²-2am+1对a∈[-1，1]恒成立，g（a）=m²-2ma，有

g(-1)≥0 g(1)≥0

，解不等式组求得m的取值范围．

解答： 解：函数f（x）在[-1，1]上是增函数．
设-1≤x₁＜x₂≤1，
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）．
又x₁＜x₂，∴x₂+（-x₁）≠0，由题设有

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

＞0，
∵x₂+（-x₁）=x₂-x₁＞0，
∴f（x₂）+f（-x₁）＞0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f （x） 在[-1，1]上是增函数，
∴f（x）_max=f（1）=1，
∴f（x）≤m²-2am+1对任意x∈[-1，1]恒成立，
只需1≤m²-2am+1对a∈[-1，1]恒成立，
即 m²-2am≥0对a∈[-1，1]恒成立
设g（a）=m²-2mp，则
有

g(-1)≥0 g(1)≥0

，
解得 m≤-2或m≥2，
∴m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故选：C．

点评：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，函数的单调性的判断和证明，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，根据函数的恒成立问题求m的取值范围是解题的难点．