题目内容
15．已知函数f（x）=ax+xln x（a∈R）．（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为a≥-lnx-1在[e，+∞）上恒成立，设g（x）=-lnx-1，根据函数的单调性求出a的范围即可．
解答 解：因为f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1．
（1）当a=-2时，f'（x）=lnx-1，令f'（x）=0，得x=e．
当0＜x＜e时，f'（x）＜0；当x＞e时，f'（x）＞0；
所以函数f（x）=-2x+xlnx的单调递减区间是（0，e），单调递增区间是（e，+∞）．
（2）因为f（x）在[e，+∞）上为增函数，
所以f'（x）≥0，即a≥-lnx-1在[e，+∞）上恒成立．
设g（x）=-lnx-1，因为函数g（x）=-lnx-1在[e，+∞）上为减函数，
所以g（x）max=g（e）=-lne-1=-2，
所以a≥-2．故a的取值范围是[-2，+∞）．
点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
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| A． | （x-1）2+（y+1）2=1 | B． | （x-1）2+（y+1）2=2 | C． | （x-1）2+（y+1）2=$\frac{18}{17}$ | D． | （x-1）2+（y+1）2=$\frac{12}{15}$ |
20．
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中${w_i}=\sqrt{x_i}$，$\overline{w}=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^8{w_i}$．
（1）根据散点图判断，y=a+bx与$y=c+d\sqrt{x}$哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x．根据（2）的结果要求：年宣传费x为何值时，年利润最大？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn）其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为$\hat β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{u_i}-\bar u}）（{{v_i}-\bar v}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{u_i}-\bar u}）}^2}}}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．| $\overline{x}$ | $\overrightarrow{y}$ | $\overline{w}$ | $\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）2 | $\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）2 | $\sum_{i=1}^{8}$ （xi-$\overrightarrow{x}$）（yi-$\overline{y}$） | $\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$） |
| 46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
（1）根据散点图判断，y=a+bx与$y=c+d\sqrt{x}$哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x．根据（2）的结果要求：年宣传费x为何值时，年利润最大？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn）其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为$\hat β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{u_i}-\bar u}）（{{v_i}-\bar v}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{u_i}-\bar u}）}^2}}}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．
已知渡船在静水中速度$\overrightarrow{v_2}$的大小为$（\sqrt{6}+\sqrt{2}）$m/s，河水流速$\overrightarrow{v_1}$的大小为2m/s．如图渡船船头方向与水流方向成$\frac{π}{4}$夹角，且河面垂直宽度为$600（\sqrt{3}+1）m$．