Question

20．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x_i和年销售量y_i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

$\overline{x}$	$\overrightarrow{y}$	$\overline{w}$	$\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）2	$\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）2	$\sum_{i=1}^{8}$ （xi-$\overrightarrow{x}$）（yi-$\overline{y}$）	$\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$）
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中${w_i}=\sqrt{x_i}$，$\overline{w}=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^8{w_i}$．
（1）根据散点图判断，y=a+bx与$y=c+d\sqrt{x}$哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x．根据（2）的结果要求：年宣传费x为何值时，年利润最大？
附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n）其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为$\hat β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{u_i}-\bar u}）（{{v_i}-\bar v}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{u_i}-\bar u}）}^2}}}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （1）根据散点图的意义，即可判断出结论；
（2）先建立中间量w=$\sqrt{x}$，建立y关于w的线性回归方程，
根据公式求出w，问题得以解决；
（3）求出预报值得方程，根据函数的性质，
即可求出年利润最大值对应的x值．

解答 解：（1）根据散点图判断，
$y=c+d\sqrt{x}$更适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；
（2）令$w=\sqrt{x}$，y=c+dw，
由表可知：$d=\frac{108.8}{1.6}=68$，
$c=\bar y-d\overline{w}=100.6$；
所以y关于x的回归方程为：
$y=100.6+68\sqrt{x}$；
（3）由（2）可知：
年利润z=0.2y-x
=$0.2（{100.6+68\sqrt{x}}）-x$
=$-x+13.6\sqrt{x}+20.12$；
所以当$\sqrt{x}=\frac{13.6}{2}=6.8$，
即x=46.24时，年利润z最大．
故年宣传费为46.24千元时，年利润最大．

点评 本题主要考查了线性回归方程和散点图的应用问题，也考查了计算能力，是基础题．