Question

3．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F与椭圆C的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C相交于点$（{-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F是否存在直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知求得p，则抛物线方程可求；
（2）设出椭圆方程，由已知列关于a，b，c的方程组，求得a，b的值，得到椭圆方程，当直线l的斜率不存在时，不合题意；当直线l的斜率存在时，设正方形第三个顶点坐标为P（0，y₀），设出直线方程y=k（x-1）（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系结合$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=0$求得k值．

解答 解：（1）由题意知，$-\frac{p}{2}=-1$，则p=2，
∴抛物线方程为y²=4x；
（2）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=2，b²=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
若l垂直于x轴，得M（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），N（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，不符合；
若l不垂直于x轴，
设正方形第三个顶点坐标为P（0，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
令l：y=k（x-1）（k≠0），代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=$k•\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}-2k=\frac{-2k}{1+2{k}^{2}}$，
则线段MN的中垂线方程为$y+\frac{k}{1+2{k}^{2}}=-\frac{1}{k}（x-\frac{{k}^{2}-1}{1+2{k}^{2}}）$，
∴P（0，$-\frac{1}{k（1+2{k}^{2}）}$）．
由$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=0$，得x₁x₂+（y₁-y₀）（y₂-y₀）=0．
即${{y}_{0}}^{2}+\frac{2k}{1+2{k}^{2}}{y}_{0}=0$（y₀≠0），∴${y}_{0}=-\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，
又${y}_{0}=-\frac{1}{k（1+2{k}^{2}）}$，∴$-\frac{2k}{1+2{k}^{2}}=-\frac{1}{k（1+2{k}^{2}）}$，解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直线l的方程为$y=±\frac{\sqrt{2}}{2}（x-1）$．

点评 本题考查椭圆方程与抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．