Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 的侧面 A₁ACC₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2

3

，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）求侧棱A₁A与底面ABC所成角的大小；
（2）求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得直线AA₁在底面ABC内的射影为直线AC，∠A₁AC为侧棱AA₁与底面ABC所成的角，由此能求出侧棱A₁A与底面ABC所成角的大小．
（2）取AC，AB的中点分别为M，N，连结A₁M，MN，NA₁，由已知得∠A₁NM即为所求二面角的平面角，由此能求出侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的大小．

解答： 解：（1）因为侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，AA₁?侧面A₁ACC₁，
侧面A₁ACC_1∩底面ABC=AC
所以直线AA₁在底面ABC内的射影为直线AC
故∠A₁AC为侧棱AA₁与底面ABC所成的角
又AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，
所以∠A₁AC=45°为所求．
（2）取AC，AB的中点分别为M，N，连结A₁M，MN，NA₁
由（1）知A₁M⊥AC，
故A₁M⊥底面ABC，A₁M⊥AB
又MN∥BC，∠ABC=90°
所以MN⊥AB，又MN∩A₁M=M，所以AB⊥平面A₁MN
则∠A₁NM即为所求二面角的平面角
在RtA₁MN中，A₁M=

3

2

，AC=3，MN=

1

2

BC=1，∠A₁MN=90°，
所以tan∠A₁MN=

A1M

MN

=3，∠A₁MN=arctan3．
即所求二面角的大小为arctan3．

点评：本题考查直线与平面所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．