Question

已知函数f（x）=x³+（a-1）x+1
（1）若f（x）在R上递增，求a的取值范围；
（2）若f（x）在（-1，1）上递减，求a的取值范围；
（3）若f（x）在（-1，1）上不单调，求a的取值范围；
（4）若（-1，1）为f（x）的递减区间，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先求出函数的导数，得到a≥-3x²+1在x∈R时恒成立，从而求出a的范围；
（2）由f′（x）≤0在（-1，1）上恒成立得到不等式，解出即可求出a的范围；
（3）若f（x）在（-1，1）上不单调，则

f′(-1)＞0 f′(0)＜0 f′(1)＞0

，解出即可求出a的范围；
（4）若（-1，1）为f（x）的递减区间，则±1为f′（x）=3x²+a-1=0的两根，解出即可求出a值．

解答： 解：∵f（x）=x³+（a-1）x+1，
∴f′（x）=3x²+a-1，
（1）若f（x）在R上递增，则f′（x）≥0恒成立，
即a≥-3x²+1在x∈R时恒成立．
而-3x²+1≤1，
∴a≥1，
∴实数a的取值范围是[1，+∞）．
（2）由条件f′（x）≤0，
  即a≤-3x²+1在x∈（-1，1）时恒成立．
∵x∈（-1，1）时，3x²∈[0，3），
∴只要a≤-2即可，
∴实数a的取值范围是（-∞，-2]．
（3）若f（x）在（-1，1）上不单调，
则

f′(-1)＞0 f′(0)＜0 f′(1)＞0

，
即

a+2＞0 a-1＜0

，
解得：-2＜a＜1，
（4）若（-1，1）为f（x）的递减区间，
则±1为f′（x）=3x²+a-1=0的两根，
解得：a=-2．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．