题目内容

函数f（x）满足：f（3x+y）=3f（x）+f（y）对任意的x，y∈R均成立，且当x＞0时，f（x）＜0．
（I）求证：f（4x）=4f（x），f（3x）=3f（x）；
（II）判断函数f（x）在（-∞，+∞）上的单调性并证明；
（III）若f（8）=-2，解不等式： $数学公式$ ．

解：（I）证明：令y=x，则f（4x）=4f（x）
令x=y=0，则f（0）=0
令y=0，则f（3x）=3f（x）
（II）解：f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，以下证明：
任设x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＞x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=f（ $\text{[math]}$ ×3+x₂）-f（x₂）=3f（ $\text{[math]}$ ）
∵x₁-x₂＞0
∴f（ $\text{[math]}$ ）＜0
即f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数
（III）解：∵f（8）=-2
∴4f（2）=2，∴f（2）=- $\text{[math]}$
12f（log₂ $\text{[math]}$ ）=3f（4log₂ $\text{[math]}$ ）=3f（log₂x）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ =f（log₂[x（x-2）]）
∴ $\text{[math]}$ ?f（log₂[x（x-2）]）＜f（2）
? $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$
∴不等式的解集为 $\text{[math]}$
分析：（I）使用赋值法，先令y=x，得f（4x）=4f（x），再令x=y=0，得f（0）=0，最后令y=0，得f（3x）=3f（x）
（II）利用函数单调性的定义以及已知抽象表达式，x＞0时，f（x）＜0．即可证明f（x）在（-∞，+∞）上是减函数
（III）先利用抽象表达式得f（2）=- $\text{[math]}$ ，再利用对数运算性质及函数的单调性，将不等式转化为对数不等式组，解之即可
点评：本题综合考查了抽象表达式的意义和作用，函数单调性的定义及证明，利用函数的单调性解不等式的技巧