Question

设定义在R上的函数f（x）满足（1）当m，n∈R时，f（m+n）=f（m）•f（n）；（2）f（0）≠0；（3）当x＜0时，f（x）＞1，则在下列结论中：
①f（a）•f（-a）=1；
②f（x）在R上是递减函数；
③存在x₀，使f（x₀）＜0；
④若f(2)=

2

，则f(

1

4

)=

1

4

，f(

1

6

)=

1

6

；
正确结论的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用抽象函数的条件，利用赋值法分别进行求值判断．①求出f（0）=1即可．②利用函数的单调性的定义，进行判断．③利用函数的奇偶性进行判断．④利用赋值法进行求值．

解答：解：令x=y=0，则f（0+0）=f（0）f（0）=f（0），因为f（0）≠0，所以f（0）=1．当m=n时，f（2m）=f（m）f（m）=[f（m）]²＞0
①因为f（a）•f（-a）=f（a-a）=f（0）=1，所以①正确．
②设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=f（x₁-x₂）f（x₂）-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]，
因为x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，所以f（x₁-x₂）＞1，所以f（x₂）＞0，f（x₁-x₂）-1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在R上是递减函数，所以②正确．
③当m=n时，f（2m）=f（m）f（m）=[f（m）]²≥0，所以不存在x₀，使f（x₀）＜0，所以③错误．
④由②知，f（x）在R上是递减函数，所以f（2）＜f(

1

4

)，所以④错误．
故正确是①②．
故选B．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，考查学生的分析能力．综合性较强．