Question

（2008•临沂二模）在R上的可导函数f（x）满足：f（0）=0，xf'（x）＞0，则
①f（-2）＜f（-1）；
②f（x）不可能是奇函数；
③函数y=xf（x）在R上为增函数；
④存在区间[a，b]，对任意x₁，x₂∈[a，b]，都有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

成立．
其中正确命题的序号为（将所有正确命题的序号都填上）

②③④

．

Answer 1

分析：利用函数的导数确定函数的单调性．然后分别利用函数的性质进行判断．

解答：解：当x＞0时，f'（x）＞0，此时函数单调递增．
当x＜0时，f'（x）＜0，此时函数单调递减．
所以f（-2）＞f（-1）所以①错误．
因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以f（x）不可能是奇函数，所以②错误．
当x＞0时，函数f（x）单调递增，y=x也单调递增，所以y=xf（x）也单调递增，
当x＜0时，此时f（x）函数单调递减，y=x单调递增且x＜0，所以y=xf（x）也单调递增，
因为f（0）=0，所以当x=0时xf（x）=0，所以函数y=xf（x）在R上为增函数，所以③正确．
满足对任意x₁，x₂∈[a，b]，都有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

成立的函数为凹函数，
所以当f（x）=x²满足条件，所以④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题主要考查函数性质的综合考查，综合性强．