Question

10．若S_n=cos$\frac{π}{8}$+cos$\frac{2π}{8}$+…+cos$\frac{nπ}{8}$（n∈N⁺），则在S₁，S₂，…，S₂₀₁₅中，正数的个数是（　　）

• A． 882
• B． 756
• C． 750
• D． 378

Answer 1

分析 由cos$\frac{π}{8}$＞0，cos$\frac{2π}{8}$＞0，cos$\frac{3π}{8}$＞0，$cos\frac{4π}{8}$=0，…，cos$\frac{15π}{8}$=cos$\frac{π}{8}$＞0，cos2π=1．可得S₁＞0，…，S₆＞0，S₇=0，S₈＜0，…，S₁₅＜0，S₁₆=0．可得在S₁，S₂，…，S₁₆中，正数的个数是6个．利用三角函数的周期性，即可得出．

解答 解：∵cos$\frac{π}{8}$＞0，cos$\frac{2π}{8}$＞0，cos$\frac{3π}{8}$＞0，$cos\frac{4π}{8}$=0，$cos\frac{5π}{8}$=-cos$\frac{3π}{8}$＜0，$cos\frac{6π}{8}$=-cos$\frac{2π}{8}$＜0，$cos\frac{7π}{8}$=-cos$\frac{π}{8}$＜0，cos$\frac{8π}{8}$=-1＜0，
$cos\frac{9π}{8}$=-cos$\frac{π}{8}$＜0，$cos\frac{10π}{8}$=-cos$\frac{2π}{8}$＜0，$cos\frac{11π}{8}$=-cos$\frac{3π}{8}$＜0，$cos\frac{12π}{8}$=0，cos$\frac{13π}{8}$=cos$\frac{3π}{8}$＞0，cos$\frac{14π}{8}$=cos$\frac{2π}{8}$＞0，cos$\frac{15π}{8}$=cos$\frac{π}{8}$＞0，cos2π=1．
∴S₁＞0，…，S₆＞0，S₇=0，S₈＜0，…，S₁₅＜0，S₁₆=0．
在S₁，S₂，…，S₁₆中，正数的个数是6个．
由三角函数的周期性，可得：在S₁，S₂，…，S₂₀₀₀，正数的个数有750项．
S₂₀₀₁，…，S₂₀₁₅中，正数的个数也6项．
在S₁，S₂，…，S₂₀₁₅中，正数的个数是756．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的求值、诱导公式、三角函数的周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．