题目内容
13．某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对2道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为$\frac{2}{3}、\frac{1}{2}、\frac{1}{3}$，且三道题目之间相互独立．求：某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与数学期望．分析 由题意设X表示该嘉宾所得分数，则X可取决，1，3，6，分别求出相应的概率，由此能求出某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与数学期望．
解答 解：由题意设X表示该嘉宾所得分数，则X可取1，3，6，
P（X=0）=（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{9}$，
P（X=1）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{7}{18}$，
P（X=2）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{7}{18}$，
P（X=3）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$，
∴X的分布列为：
| X | -4 | 1 | 3 | 6 |
| P | $\frac{1}{9}$ | $\frac{7}{18}$ | $\frac{7}{18}$ | $\frac{1}{9}$ |
点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意概率知识的合理运用．
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