题目内容

3.在数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*),求数列{an}的通项公式.

分析 把给出的等式两边同时除以2n,然后利用累加法求得数列通项公式.

解答 解:由an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*),得
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=1-\frac{1}{{2}^{n}}$(n≥2且n∈N*),
∴$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}-\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}=1-\frac{1}{{2}^{2}}$,
$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}-\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}=1-\frac{1}{{2}^{3}}$,

$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=1-\frac{1}{{2}^{n}}$.
累加得:$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{{a}_{1}}{2}+(n-1)-(\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}})$
=$\frac{5}{2}+(n-1)-\frac{\frac{1}{4}(1-\frac{1}{{2}^{n-1}})}{1-\frac{1}{2}}$=$n+1+\frac{1}{{2}^{n}}$,
∴${a}_{n}=(n+1)•{2}^{n}+1$.

点评 本题考查数列递推式,考查了累加法求数列的通项公式,是中档题.

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