Question

已知集合A={x|x²+ax+a+1=0}．
（1）若x∈A，则x²∈A，求a的值；
（2）是否存在实数a，使得若x∈A，y∈A，则xy∈A，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：集合

分析：（1）若x∈A，则x²∈A，A 的元素只可能是-1、0、1，然后，结合根与系数之间的关系，建立等式求解a的值；
（2）假设存在，然后，结合x∈A，y∈A，则xy∈A，求解．

解答： 解：（1）设方程x²+ax+a+1=0的解集为集合A，
则集合A至多两个元素，
由于若x∈A，则x²∈A，因此 A 的元素只可能是-1、0、1，并且-1∈A 时 1∈A，
①若 A={0}，则 x²+ax+a+1=x²，此不可能；
②若 A={1}，则 x²+ax+a+1=（x-1）²，此不可能；
③若 A={0，1}，则x²+ax+a+1=x（x-1），解得 a=-1；
④若 A={-1，1}，则 x²+ax+a+1=（x-1）（x+1），此不可能，
综上可得 a=-1．
（2）如果 x=y，那么 xy=x²；
如果 x≠y，由于 A 至多只有两个元素，因此 xy=x 或 xy=y，
所以 A={0，1}满足条件，此时 a=-1．

点评：本题重点考查元素与集合的关系，构成集合的元素特征等知识，属于中档题，难度中等．