Question

【题目】在数列{an}中，an＞0，a1= ，如果an+1是1与 的等比中项，那么a1+ + + +… 的值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵an+1是1与 的等比中项，
∴ = ，
又∵an＞0，a1= ，
∴ = ，即：15 ﹣4a2﹣4=0，
解得：a2= 或a2=﹣ （舍），
猜想：an= ．下面用数学归纳法来证明：
（1）当n=1时，命题显然成立；
（2）假设当n=k时有ak= ，则 = ，
∴ = ，即 ﹣ ak﹣1=0，
∴（ ak+1﹣1）（ +1）=0，解得：ak+1= 或ak+1=﹣ （舍），
即当n=k+1时，命题也成立；
由（1）（2）可知an= ．
∴a1+ + + +… = + + +…+
=（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）
=1﹣
= ，
所以答案是： ．
【考点精析】本题主要考查了数列的通项公式的相关知识点，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．