Question

【题目】已知椭圆 的离心率为 ，其左顶点A在圆O：x2+y2=16上．

（1）求椭圆W的方程；
（2）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为椭圆W的左顶点A在圆O：x2+y2=16上，

令y=0，得x=±4，所以a=4．

又离心率为 ，所以 ，所以 ，

所以b2=a2﹣c2=4，

所以W的方程为 ．

（2）解：

法一：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线AP的方程为y=k（x+4），

与椭圆方程联立得 ，

化简得到（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣16=0

因为﹣4为上面方程的一个根，所以 ，所以 ．

所以 ．

因为圆心到直线AP的距离为 ，

所以 ，

因为 ，

代入得到 ．

显然 ，所以不存在直线AP，使得 ．

法二：

设点P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线AP的方程为x=my﹣4，

与椭圆方程联立得

化简得到（m2+4）y2﹣8my=0，由△=64m2＞0得m≠0．

显然0是上面方程的一个根，所以另一个根，即 ．

由

因为圆心到直线AP的距离为 ，

所以 ．

因为 ，

代入得到 ，

若 ，则m=0，与m≠0矛盾，矛盾，

所以不存在直线AP，使得 ．

法三：假设存在点P，使得 ，则 ，得 ．

显然直线AP的斜率不为零，设直线AP的方程为x=my﹣4，

由 ，得（m2+4）y2﹣8my=0，

由△=64m2＞0得m≠0，

所以 ．

同理可得 ，

所以由 得 ，

则m=0，与m≠0矛盾，

所以不存在直线AP，使得

【解析】（1）由题意求出a，通过离心率求出c，然后求解椭圆的标准方程．（2）法一：设点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），设直线AP的方程为y=k（x+4），与椭圆方程联立，利用弦长公式求出|AP|，利用垂径定理求出|oa|，即可得到结果．
法二：设点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），设直线AP的方程为x=my﹣4，与椭圆方程联立与椭圆方程联立得求出|AP|，利用垂径定理求出|oa|，即可得到结果．
法三：假设存在点P，推出 ，设直线AP的方程为x=my﹣4，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，推出 ，求解即可．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．