Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$的左、右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆x²+y²=4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则$\frac{{k}_{PB}}{{k}_{QF}}$的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）．

Answer 1

分析 椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$焦点在x轴上，由P在圆x²+y²=4上，则PA⊥PB，则k_AP•k_PB=-1，可得k_PB=-$\frac{1}{{k}_{AP}}$，$\frac{{k}_{PB}}{{k}_{QF}}$=$\frac{-\frac{1}{{k}_{AP}}}{{k}_{QF}}$=-$\frac{1}{{k}_{AP}•{k}_{QF}}$，设Q（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），则k_AP•k_QF=$\frac{\sqrt{3}sinθ}{2cosθ+2}$•$\frac{\sqrt{3}sinθ}{2cosθ-1}$=$\frac{3（1-co{s}^{2}θ）}{4co{s}^{2}θ+2cosθ-2}$，设t=cosθ，t∈（-1，1），则f（t）=$\frac{3（1-{t}^{2}）}{4{t}^{2}+2t-2}$，进而得出．

解答 解：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$焦点在x轴上，a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，右焦点F（1，0），
由P在圆x²+y²=4上，则PA⊥PB，
则k_AP•k_PB=-1，则k_PB=-$\frac{1}{{k}_{AP}}$，
$\frac{{k}_{PB}}{{k}_{QF}}$=$\frac{-\frac{1}{{k}_{AP}}}{{k}_{QF}}$=-$\frac{1}{{k}_{AP}•{k}_{QF}}$，
设Q（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），则k_AP•k_QF=$\frac{\sqrt{3}sinθ}{2cosθ+2}$•$\frac{\sqrt{3}sinθ}{2cosθ-1}$，
=$\frac{3si{n}^{2}θ}{4co{s}^{2}θ+2cosθ-2}$，
=$\frac{3（1-co{s}^{2}θ）}{4co{s}^{2}θ+2cosθ-2}$，
设t=cosθ，t∈（-1，1），
则f（t）=$\frac{3（1-{t}^{2}）}{4{t}^{2}+2t-2}$，
∴$\frac{{k}_{PB}}{{k}_{QF}}$=$\frac{4{t}^{2}+2t-2}{3（{t}^{2}-1）}$=$\frac{4}{3}$+$\frac{2}{3}$$•\frac{1}{t-1}$∈（-∞，1），且不等于0．
故答案为：（-∞，0）∪（0，1）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角函数求值、函数的性质、换元方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．