题目内容
5．已知全集U=R，集合A={x|（x-2）（x-3）＜0}，B={x|（x-a）（x-a2-2）＜0}．（1）当a=$\frac{1}{2}$时，求（∁UB）∩A．
（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
分析 （1）利用不等式的解法、集合的运算性质即可得出．
（2）由若q是p的必要条件知p⇒q，可知A⊆B．由a2+2＞a知B={x|a＜x＜a2+2}．可得$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\{a^2}+2≥3\end{array}\right.$，解出即可得出．
解答 解：（1）集合A={x|（x-2）（x-3）＜0}={x|2＜x＜3}，
a=$\frac{1}{2}$时，（x-$\frac{1}{2}$）（x-$\frac{9}{4}$）＜0，解得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{9}{4}$，∁UB={x|$x≤\frac{1}{2}$，或x$≥\frac{9}{4}$}．
∴（∁UB）∩A={x|$\frac{9}{4}≤x＜3$}．
（2）由若q是p的必要条件知p⇒q，可知A⊆B．
由a2+2＞a知B={x|a＜x＜a2+2}．
∴$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\{a^2}+2≥3\end{array}\right.$
解得a≤-1或1≤a≤2．
即a∈（-∞，-1]∪[1，2]．
点评 本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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