题目内容

13．已知曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2．
（1）分别写出曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（2）已知M，N分别是曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．

分析 （1）利用三种方程的转化方法，分别写出曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（2）设P（2cosα，2sinα），则|PM|+|PN|=$\sqrt{7-4\sqrt{3}sinα}$+$\sqrt{7+4\sqrt{3}sinα}$，两边平方，即可求|PM|+|PN|的最大值．

解答 解：（1）曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
曲线C2的极坐标方程为ρ=2，直角坐标方程为x2+y2=4；
（2）设P（2cosα，2sinα），则|PM|+|PN|=$\sqrt{7-4\sqrt{3}sinα}$+$\sqrt{7+4\sqrt{3}sinα}$，
∴（|PM|+|PN|）2=14+2$\sqrt{49-48si{n}^{2}α}$，
∴sinα=0时，|PM|+|PN|的最大值为2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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A．8B．9C．10D．11
4．已知$α，β∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且$\frac{sinβ}{sinα}=cos（{α+β}）$，
（1）若 $α=\frac{π}{6}$，则tanβ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$；
（2）tanβ的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
1．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（a为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}ρcos（θ+\frac{π}{4}）=-1$．
（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）过点M（-1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．
8．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={1，2，3}，N={0，3，4}，则（∁UM）∩N（　　）
A．{0，4}B．{3，4}C．{1，2}D．∅
18．已知直线L的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3co{s}^{2}θ}}$．
（Ⅰ）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与L夹角为$\frac{π}{3}$的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．
5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$的左、右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2=4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则$\frac{{k}_{PB}}{{k}_{QF}}$的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）．
12．设a为实数，函数f（x）=x3-x2-x+a
（1）求f（x）的极值
（2）曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点，求a的取值范围．
13．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x-1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若直线l：y=x+k与曲线C相切，求k的值．

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