Question

15．设数列{a_n}中，a₁=3，$\frac{1}{3}{a_n}={a_{n-1}}+{3^n}$（n∈N^*，n≥2），则a_n=（3n-2）•3ⁿ．

Answer 1

分析 $\frac{1}{3}{a_n}={a_{n-1}}+{3^n}$（n∈N^*，n≥2），可得$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$=3，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵$\frac{1}{3}{a_n}={a_{n-1}}+{3^n}$（n∈N^*，n≥2），∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$=3，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}\}$是等差数列，公差为3，首项为1．
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
则a_n=（3n-2）•3ⁿ．
故答案为：（3n-2）•3ⁿ．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．