题目内容
19．已知函数f（x）=（x-a-1）ex：（Ⅰ）若函数的最小值为-1，求实数a的值；
（Ⅱ）若x1＞x2，且有x1+x2=2a，求证：f（x1）＞f（x2）．
分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的Ⅰ就，求出函数的最小值，从而求出a的值；
（Ⅱ）构造函数g（x）=（x-a-1）ex-（a-x-1）e2a-x，x＞a，求出函数的单调性，从而证出结论．
解答 解：（Ⅰ）定义域为 R，
因为f'（x）=（x-a）ex，令f'（x）=0，得x=a
当x变化时，f'（x），f（x）变化如下表：
| x | （-∞，a） | a | （a，+∞） |
| f'（x） | - | 0 | + |
| f（x） | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
所以f（a）=-ea=-1，解得a=0；
（Ⅱ）证明：由题可知x1＞a，并且有x2=2a-x1，$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{x_1}-a-1）{e^{x_1}}-（a-{x_1}-1）{e^{2a-{x_1}}}$，
记g（x）=（x-a-1）ex-（a-x-1）e2a-xx＞a，g'（x）=（x-a）（ex-e2a-x），
当x＞a时，ex＞e2a-x，即g'（x）＞0，
所以g（x）在区间（a，+∞）上单调递增，g（x）＞g（a）=0
所以有f（x1）＞f（x2），结论成立．
点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．
练习册系列答案
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14．已知圆C：x2+y2=4，直线l：x+$\sqrt{2}$y-4=0，点P在直线l上，点Q在圆C上，则∠OPQ（其中O为坐标原点）的最大值为（ ）
| A． | $\frac{π}{4}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{π}{2}$ | D． | $\frac{2π}{3}$ |
如图，四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为$\sqrt{5}$的等腰三角形，M为VC边中点．
如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE-BCF和一个正四棱锥P-ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．