Question

7．已知函数f（x）=e^xsinx，F（x）=mx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）≥F（x），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=e^xsinx+e^xcosx=$\sqrt{2}$e^xsin（x+$\frac{π}{4}$），分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出单调区间；
（2）令g（x）=f（x）-mx=e^xsinx-mx，即g（x）≥0恒成立，而g′（x）=e^x（sinx+cosx）-m，令h（x）=e^x（sinx+cosx），利用导数研究函数h（x）的单调性可得：在[0，$\frac{π}{2}$]上单调递增，1≤h（x）≤${e}^{\frac{π}{2}}$，对m分类讨论，即可得出函数g（x）的单调性，进而得出m的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=e^xsinx+e^xcosx=$\sqrt{2}$e^xsin（x+$\frac{π}{4}$），
当x∈（2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
x∈（2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{7π}{4}$），f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
（2）令g（x）=f（x）-mx=e^xsinx-mx，即g（x）≥0恒成立，
而g′（x）=e^x（sinx+cosx）-m，
令h（x）=e^x（sinx+cosx），h′（x）=e^x（sinx+cosx）+e^x（cosx-sinx）=2e^xcosx．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上单调递增，1≤h（x）≤${e}^{\frac{π}{2}}$，
当m≤1时，g′（x）≥0，g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上单调递增，g（x）≥g（0）=0，符合题意；
当m≥${e}^{\frac{π}{2}}$时，g′（x）≤0，g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上单调递减，g（x）≤g（0），与题意不合；
当1＜m＜${e}^{\frac{π}{2}}$时，g′（x）为一个单调递增的函数，而g′（0）=1-k＜0，g′（$\frac{π}{2}$）=${e}^{\frac{π}{2}}$-k＞0，
由零点存在性定理，必存在一个零点x₀，使得g′（x₀）=0，
当x∈[0，x₀）时，g′（x）≤0，从而g（x）在此区间上单调递减，从而g（x）≤g（0）=0，与题意不合，
综上所述：m的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．