Question

14．已知圆C：x²+y²=4，直线l：x+$\sqrt{2}$y-4=0，点P在直线l上，点Q在圆C上，则∠OPQ（其中O为坐标原点）的最大值为（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，在△OPQ中，由正弦定理可得$sin∠OPQ=OQ•\frac{sin∠OQP}{OP}=2•\frac{sin∠OQP}{OP}$，知当∠OQP=90°，且OP最小时，sin∠OPQ有最大值，由点到直线的距离公式求出OP的最小值，则答案可求．

解答 解：如图，

连接OP、OQ、PQ，
在△OPQ中，由正弦定理得：$\frac{OQ}{sin∠OPQ}=\frac{OP}{sin∠OQP}$，
∴$sin∠OPQ=OQ•\frac{sin∠OQP}{OP}=2•\frac{sin∠OQP}{OP}$，
∴当∠OQP=90°，且OP最小时，sin∠OPQ有最大值，
此时$O{P}_{min}=\frac{|-4|}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$，∴$（sin∠OPQ）_{max}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则∠OPQ的最大值为$\frac{π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查了数学转化思想方法，训练了正弦定理的应用，是中档题．