Question

5．已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|，记f（x）的最小值为k．
（1）解不等式f（x）≤x+1；
（2）是否存在正数a、b，同时满足：2a+b=k，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=4？并证明．

Answer 1

分析 （1）对x讨论，当x≥2时，当1＜x＜2时，当x≤1时，去掉绝对值，解不等式，最后求并集，即可得到所求解集；
（2）运用绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值1，假设存在正数a、b，同时满足：2a+b=1，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=4．消去b，解关于a的方程，即可得到结论．

解答 解：（1）f（x）≤x+1，即为：
|x-1|+|x-2|≤x+1，
当x≥2时，x-1+x-2≤x+1，即x≤4，可得2≤x≤4；
当1＜x＜2时，x-1+2-x≤x+1，即x≥0，可得1＜x＜2；
当x≤1时，1-x+2-x≤x+1，即x≥$\frac{2}{3}$，可得$\frac{2}{3}$≤x≤1．
综上可得，原不等式的解集为[$\frac{2}{3}$，4]；
（2）不存在正数a、b，同时满足：2a+b=1，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=4．
理由如下：函数f（x）=|x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1，
当且仅当（x-1）（x-2）≤0，即1≤x≤2时，f（x）取得最小值1，
假设存在正数a、b，同时满足：2a+b=1，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=4．
将b=1-2a代入第二式，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{1-2a}$=4，
即为8a²-4a+1=0，
由判别式为16-4×8×1=-16＜0，
可得方程无实数解．
则不存在正数a、b，同时满足：2a+b=1，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=4．

点评 本题考查绝对值不等式的解法和存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法和假设存在，推理论证得出矛盾，考查运算能力，属于中档题．